Přepětí v distribučních sítích 03: Vlnové pochody na vedeních

4.6.3

Přepětí v distribučních sítích 03: Vlnové pochody na vedeních

Doc. Ing. Petr Toman, Ph.D. a kolektiv autorů

 NahoruJednofázové bezztrátové vedení

Pro objasnění způsobu šíření přepěťových vln po vedeních je použito jednofázové vedení, jehož průřez, vzájemná vzdálenost vodičů ani okolní prostředí se nemění, tedy vedení homogenní, které navíc pro zjednodušení budeme uvažovat jako bezztrátové¹. Na Obr. 6.5 je náhradní schéma úseku o délce Δx takového vedení. Podélná indukčnost tohoto elementu vedení je ΔxL₀ [H] a příčná kapacita ΔxC₀ [F], jestliže indukčnost podél vedení je L₀[H/m] a vzájemná kapacita obou vodičů C₀ [F/m]. Vzdálenost x se mění v kladném směru od začátku vedení (x = 0) ke konci vedení (x = l).

Obr. 6.5: Náhradní schéma elementu délky jednofázového bezztrátového vedení

Pro uvedený náhradní obvod (Obr. 6.5) lze psát rovnice pro proud a napětí na základě Kirchhofových zákonů (6.10):

(6.11):

Vydělením obou rovnic délkou elementu Δx a zavedením limitní hodnoty

Δx → 0 do výrazů na jejich levé straně (6.12):

(6.13):

Pro eliminaci neznámých, kterými jsou proud i a napětí u, v obou rovnicích použijeme následující úpravy:

Rovnici (6.12) dále derivujeme podle x (6.14):

Rovnici (6.10) derivujeme podle t (6.15):

Dosazením do pravé strany rovnice (6.14) z rovnice (6.15) dostáváme jednu rovnici pro napětí (6.16):

Stejným postupem tj. derivací rovnice (6.13) podle x, rovnice (6.12) podle t a substitucí dostáváme rovnici pro proud (6.17):

Tyto rovnice se nazývají vlnové rovnice vedení a jsou to parciální diferenciální rovnice druhého řádu. Jejich analytické řešení je známo jako d'Alembertovo řešení vlnových rovnic², podle něhož můžeme hodnoty napětí a proudu zapsat pomocí funkcí F a G argumentu (x ± vt), kde

je rychlost šíření.

D'Alembertovým řešením vlnové rovnice proudu (6.17) získáme vztah (6.18):

jeho dosazením do rovnice (6.12) dostaneme (6.19):

a následnou integrací obdržíme rovnici pro napětí (6.20):

Jestliže dosadíme za

bude rovnice pro vlnu napětí (6.21):

Konstantou úměrnosti mezi proudem a napětím je charakteristická nebo-li vlnová impedance (6.22):

Hodnoty funkcí F a G musí být stanoveny z počátečních nebo okrajových podmínek a jejich fyzikální význam lze demonstrovat následujícím způsobem:

• Zvolíme si konkrétní bod funkce F. Např. pro vlnu proudu, která se šíří ve směru x to bude bod A v čase…